ブックタイトルROOT No.19

概要

ROOT No.19

マテマ！R解説編倍数判定法を利用した数あてパズル●天理大学教授上田喜彦９の倍数判定法このパズルでは，次のような９の倍数の判定法がうまく利用されています。【９の倍数の判定法】各位の数の和が９の倍数である整数は，９の倍数である。中学生であれば，次のように説明（証明）できるでしょう。万の位から順に位の数字をa,b,c,d,e,とおくと，５けたの整数は，10000a+1000b+100c+10d+eと表されます。10000a+1000b+100c+10d+e＝（9999+1）a+（999+1）b+（99+1）c+（9+1）d+e＝（9999a+999b+99c+9d）+（a+b+c+d+e）＝9（1111a+111b+11c+d）+（a+b+c+d+e）このとき9（1111a+111b+11c+d）は，明らかに９の倍数となるので，a+b+c+d+eが９の倍数であれば，元の数も９の倍数であり，９の倍数でなければあまりがあることになります。小学生でも，教科書に載っているような図を使って次のように説明することが可能です。例えば，43389という数について考えてみましょう。ここでは，80を表すときには，縦に10個並べ，それを横に８列並べて右のように表すことにします。十の位810これと同じように43389を図に表すと，万の位千の位百の位十の位一の位4338910100100010000９の倍数であるということは，43389が９でわり切れるということですが，「９でわる」ということは「９を順にとっていく」ことなので，縦の列から一番大きい千の位９の倍数をとっていき3←横一列分の３が残るます。例えば，千の位ならばそれぞれの列で1000 999←1000から取れる「1000 ? 999」をして，最大の９の倍数横一列分の３個が残ります。それぞれの位で同じようにすると10000万の位千の位百の位十の位一の位433891000999999910010 9となります。このとき，残った数（色を塗った部分）の和，すなわち，4＋3＋3＋8＋9が、９の倍数になっていれば，もとの数も９の倍数になることがわかります。43389の場合は，各位の数字の和が27となりますから９の倍数です。９の倍数の判定法自体は日常生活で役立つ場面がそう多いわけではありませんが，どうしてそうなるかを考えることは，知的好奇心を満足させて，深い学びにつながるよい題材ではないかと考えています。このパズルを入口として，授業で「９の倍数の判定法」について考えてみるのはいかがでしょうか。ところで，パズルのなかで，「Cは，どうして必ず９の倍数になるか」ということです…が，今回はちょっと紙幅に余裕がなさそうです。9912算数・数学情報誌ROOT vol.19